수리논술,
제대로 준비해보자

기출첨삭부터 대학지원, 모의논술까지, 수리논술에 필요한 모든 것

고려대학교 2026학년도 (오전) 1-2

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{n}\times\left(a_{n+1}^2-a_n^2\right)

을 구하고, 그 이유를 설명하시오.

(10점)

1. 답안 사진
2. 손글씨 인식
3. AI 첨삭

학생 답안

사진 1장

1-1)에서

a_n^2=n^{\frac{2}{3}}-4

이므로

a_{n+1}^2-a_n^2=(n+1)^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{2}{3}}

h(x)=x^{\frac{2}{3}}

이라 하면 평균값 정리에 의해

(n+1)^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{2}{3}}=h'(c)

인

c

가

n<c<n+1

에 존재

h'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

이므로

\sqrt[3]{n}(a_{n+1}^2-a_n^2)=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt[3]{n}}{c^{\frac{2}{3}}}

\frac{\sqrt[3]{n}}{(n+1)^{\frac{2}{3}}}<\frac{\sqrt[3]{n}}{c^{\frac{2}{3}}}<\frac{\sqrt[3]{n}}{n^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{n}}

양쪽 다 0으로 가니까 샌드위치로 극한은 0

답: 0

AI 첨삭

– / 10점

손글씨를 읽으면 첨삭이 시작돼요

컨셉평균값 정리를 이용한 거듭제곱 차의 극한

감점 사유

−4
계산 및 최종 답안 오류:
$h(x)=x^{\frac{2}{3}}$ 의 도함수는 $h'(x)=\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}$ 인데, 이를 $\frac{2}{3x^{\frac{2}{3}}}$ 으로 잘못 계산하였다. 이에 따라 샌드위치 정리에 사용한 부등식과 최종 극한값 0도 잘못되었으며, 옳은 극한값은 $\frac{2}{3}$ 이다.
−1
정리 적용 조건 누락:
평균값 정리를 적용하기 전에 $h$ 가 $[n,n+1]$ 에서 연속이고 $(n,n+1)$ 에서 미분 가능함을 밝히지 않았다.

수정된 풀이

1-1에서

a_n^2=n^{\frac{2}{3}}-4

이므로

a_{n+1}^2-a_n^2=(n+1)^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{2}{3}}

이다.

h(x)=x^{\frac{2}{3}}

는

[n,n+1]

에서 연속이고

(n,n+1)

에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의해

(n+1)^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{2}{3}}=h'(c)

인

c

가

n<c<n+1

에 존재한다. 이때

h'(x)=\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}

이므로

\sqrt[3]{n}\left(a_{n+1}^2-a_n^2\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{n}{c}\right)^{\frac{1}{3}}.

n<c<n+1

이므로

\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\frac{1}{3}}<\left(\frac{n}{c}\right)^{\frac{1}{3}}<1.

양 끝이 모두 1로 수렴하므로 샌드위치 정리에 의해

\left(\frac{n}{c}\right)^{\frac{1}{3}}

은 1로 수렴한다. 따라서 주어진 극한은

\frac{2}{3}

이다.

제시문 확인

조건 (가)는 1-1에서 얻은

a_n^2=n^{\frac{2}{3}}-4

를 통해 활용하였다.

n>10

은 평균값 정리의 적용 구간이 양수 범위에 있음을 보장한다. 모든 관련 제시문 활용

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가격

LITE 패키지

월 44,000원

한달 30~50만원대로 부담됨

첨삭

확실한 기준과 데이터로 꼼꼼히 첨삭함

경쟁자 풀이 데이터 + 입학처 해설지 기준

인원이 많아 꼼꼼히 받기 어려움

편의성

집에서 편하게 첨삭

기출첨삭부터 결과 확인까지 바로 연결

대치동 등 유명 학원가로 가야함

학생 풀이

(3-3)

a, b가 같은 부호이면 평균값정리에 의해 그런 c가 생기므로 반드시 a < 0 < b이다.

이제 b = 1, 2만 보면 충분하다.

b = 1이면 m = (3 − a²/4)/(1 − a)이고 0 ≤ m ≤ 2가 되어야 하므로 a = −1, −2, −3이다.

b = 2이면 m = 0이 나오는데, 기울기 0은 실제로는 도 중간에서 나올 수 있다고 생각되어 이 경우는 제외하였다.

따라서 (a, b) = (−3, 1), (−2, 1), (−1, 1).

AI 첨삭 결과

4 / 15

컨셉 분류불연속 도함수를 갖는 함수의 평균값 정리 비적용 조건 분석입학처

−1논리 비약: b = 1, 2만 고려하는 이유에 대한 중간 설명이 빠졌습니다.
−3논리 오류: b = 1일 때 0 ≤ m ≤ 2 조건은 S_g의 정확한 범위를 고려하지 않은 추론입니다.
−5논리 오류: b = 2일 때 기울기 m = 0을 '도 중간에서 나올 수 있다'고 제외한 것은 잘못된 판단입니다.

경쟁자들의 풀이 데이터, 입학처 해설지로 강화되는 수리넷만의 첨삭

감점 이유와 보완 방향을 한 리포트로 정리합니다.

단순한 AI 첨삭이 아닙니다

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핵심 개념과 자주 틀리는 포인트를 먼저 잡습니다.

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